Известия высших учебных заведений

ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА

Научно-технический журнал


Известия высших учебных заведений. ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА 2017; 2: 5-12

 

http://dx.doi.org/10.17213/0136-3360-2017-2-5-12

 

Решение уравнений эллиптического типа обобщенным методом точечных источников поля

С.Ю. Князев, Е.Е. Щербакова

Князев Сергей Юрьевич – д-р техн. наук, доцент, зав. кафедрой «Математика» Донского государственного технического университета. E-mail: ksy@donpac.ru

Щербакова Елена Евгеньевна – канд. техн. наук, доцент кафедры «Физическое и прикладное материаловедение» Донского государственного технического университета. E-mail: Sherbakovaee@mail.ru

 

Аннотация

Описан новый универсальный численный метод решения краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа, основанный на приведении исходного уравнения математической физики к более простому неоднородному уравнению с известным фундаментальным решением, от которого производится переход к неоднородному интегральному уравнению с ядром, выражаемым через известное фундаментальное решение. Интегральное уравнение, совместно с граничными условиями, решается численно. В результате получается искомое приближенное решение (потенциал поля) в аналитическом виде, что позволяет не только находить приближенное значение потенциала поля в любой точке области решения, но и дифференцировать этот потенциал, причем, без заметной потери точности. Это свойство разрабатываемого численного метода выгодно отличает его от традиционных численных методов решения краевых задач, таких, например, как метод конечных элементов. Для подтверждения эффективности предложенного численного метода решена двумерная и трехмерная краевые задачи с известными решениями. Получены зависимости погрешности численного решения от числа линейных уравнений в результирующей системе. Показано, что даже при небольшом числе уравнений в системе, порядка нескольких сотен, достигается точность решения на уровне сотых долей процента. Результаты работы показывают, что физическое поле, описываемое практически любым линейным уравнением эллиптического типа, можно представить в виде суперпозиции полей точечных источников, удовлетворяющих более простому уравнению, решение которого находится с помощью метода точечных источников поля. Поэтому представленный численный метод можно рассматривать как обобщенный метод точечных источников поля, позволяющий резко расширить область применения традиционного метода точечных источников поля при решении прикладных задач по моделированию полей различной физической природы в технических устройствах различного типа.

 

Ключевые слова: фундаментальное решение, метод фундаментальных решений, метод точечных источников, уравнения эллиптического типа, краевая задача

 

Полный текст: [in elibrary.ru]

 

Ссылки на литературу

1. Fairweather G., Karageorghis A. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems // Ad. Vol. Comput. Math. 1998. Vol. 9. P. 69 – 95.

2. Alves C.J.S., Chen C.S. A new method of fun-damental solutions applied to nonhomogeneous elliptic problems // Advances in Computational Mathematics. 2005. Vol. 23. P. 125 – 142.

3. Погрешность метода точечных источников при моделировании потенциальных полей в областях с различной конфигурацией / Ю.А. Бахвалов, С.Ю. Князев, А.А. Щер-баков, Е.Е. Щербакова // Изв. вузов. Электромеханика. 2012. № 5. С. 17 – 21.

4. Князев С.Ю., Щербакова Е.Е., Заиченко А.Н. Сравнительный анализ двух вариантов метода коллокаций при численном моделировании потенциальных полей // Изв. вузов. Электромеханика. 2014. № 1. С. 17 – 19.

5. Князев С.Ю., Щербакова Е.Е., Щерба-ков А.А. Компьютерное моделирование потенциальных полей методом точечных источников: монография. Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2012. 156 с.

6. Князев С.Ю. Устойчивость и сходимость метода точечных источников поля при численном решении краевых задач для уравнения Лапласа // Изв. вузов. Электромеханика. 2010. № 1. С. 3 – 12.

7. Князев С.Ю., Щербакова Е.Е. Решение трехмерных краевых задач для уравнений Лапласа с помощью метода дискретных источников поля // Изв. вузов. Электромеханика. 2015. № 5. С. 25 – 30.

8. Князев С.Ю., Щербакова Е.Е., Енгиба-рян А.А. Численное решение краевых задач для уравнения Пуассона методом точечных источников поля // Вестн. Донского гос. техн. ун-та. 2014. Т. 14, № 2 (77). С. 15 – 20.

9. Князев С.Ю. Численное решение уравнений Пуассона и Гельмгольца с помощью метода точечных ис-точников // Изв. вузов. Электромеханика. 2007. № 2. С. 77 – 78.

10. Князев С.Ю., Щербакова Е.Е., Заиченко А.Н. Численное решение краевых задач для неоднород-ных уравнений Гельмгольца методом точечных источников поля // Изв. вузов. Электромеханика. 2014. № 4. С. 14 – 19.

11. Князев С.Ю., Щербакова Е.Е. Применение метода точечных источников поля при численном решении задач на собственные значения для уравнения Гельмгольца // Изв. вузов. Электромеханика. 2016. № 3(545). С. 11 – 17.

12. Щербакова Е.Е. Решения задач на собственные значения для уравнения Гельмгольца методом точечных источников поля // Вестн. Донского гос. техн. ун-та. 2016. Т. 16, № 3 (86). С. 87 – 95.

13. Князев С.Ю., Щербакова Е.Е. Решение задач тепло- и массопереноса с помощью метода точечных источников поля // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2006. № 4. С. 43 – 47.

14. Князев С.Ю., Щербакова Е.Е. Численное исследование стабильности термомиграции плоских зон // Изв. вузов. Электромеханика. 2007. № 1. С. 14 – 19.

15. Исследование стабильности термомиграции ансамбля линейных зон с помощью трехмерной компьютерной модели, построенной на основе метода точечных источников поля / Л.С. Лунин, С.Ю. Князев, Б.М. Середин, А.С. Полухин, Е.Е. Щербакова // Вестн. Южного научного центра. 2015. Т. 11, № 4. С. 9 – 15.

16. Liviu Marin, Andreas Karageorghis. The MFS–MPS for two-dimensional steady-state thermoelasticity problems / Eng. Anal. Bound. Elem. 2013. Vol. 37. Iss. 7 – 8. P. 1004 – 1020.

17. Yan Gu, Wen Chen, Xiaoqiao He. Improved singular boundary method for elasticity problems // Comput. & Structures. 2014. Vol. 135. P. 7 – 82.

18. Князев С.Ю., Пустовойт В.Н., Щербакова Е.Е. Моделирование полей упругих деформаций с применением метода точечных источников // Вестн. Донского гос. техн. ун-та. 2015. Т. 15, № 1 (80). С. 29 – 38.

19. Моделирование трехмерных полей упругих деформаций с помощью метода точечных источников / С.Ю. Князев, В.Н. Пустовойт, Е.Е. Щербакова, А.А. Щербаков // Вестн. Донского гос. техн. ун-та. 2015. Т. 15, № 4 (83). С. 13 – 23.

20. Князев С.Ю., Щербакова Е.Е., Щерба-ков А.А. Математическое моделирование полей упругих деформаций методом точечных источников поля // Математические методы в технике и технологиях – ММТТ. 2015. № 5 (75). С. 21 – 23.

21. Князев С.Ю., Щербакова Е.Е. Применение метода точечных источников поля с использованием фундаментальных решений, полученных численно // Изв. вузов. Электромеханика. 2016. № 5(547). С. 5 – 10.

22. Князев С.Ю., Щербакова Е.Е. Применение численных фундаментальных решений в методе точечных источников поля // Вестн. Донского гос. техн. ун-та. 2016. Т. 16, № 4 (87). С. 118 – 125.

23. Князев С.Ю., Щербакова Е.Е. Метод численного решения стационарного уравнения Шредингера // Изв. вузов. Физика. 2016. Т. 59, № 10. С. 87 – 92.

24. Князев С.Ю. Интегральное уравнение для численного решения стационарных квантово-механических задач // Вестн. Донского гос. техн. ун-та. 2016. Т. 16, № 3 (86). С. 79 – 86.